Matemáticas a la luz de la curiosidad

¿Alguna vez te has parado a mirar fijamente el suelo mientras caminas de noche bajo las farolas?

Hace unos días, paseando junto al Parque Feria y la Avenida del Tercer Centenario de Los Barrios, decidí dejar de mirar el cielo para observar el suelo. Allí descubrí un pequeño ejercicio de geometría, física e historia urbana que estaba delante de mí.

A simple vista solo vemos una farola clásica de estilo fernandino, de esas que tanto me gustan por la vistosidad que aportan a ciertas avenidas y paseos. Pero, al detenerme ante una de ellas, empecé a fijarme en sus detalles: la columna, el enganche, la lámpara, la tulipa, los adornos, las letras en relieve incrustadas en el hierro… y, sobre todo, en el círculo luminoso que dibujaba sobre el suelo.

Las preguntas surgieron

Un grabado indicaba que la farola había sido fabricada por la empresa madrileña Estilo 2 en 2003. Quise saber más. Medí con pasos el diámetro del círculo de luz y, para mayor exactitud, conté las losas del pavimento, de 40 cm cada una. El resultado fue de 5 m.

Por tanto, el radio era de 2,50 m, lo que me permitía calcular el área del círculo:

A = π × r² = 3,1416 × 2,50² = 19,63 m².

Primer dato matemático: aproximadamente 19,63 m² de superficie en el círculo de luz.

Pero quería conocer la altura de la farola y también el motivo por el que el círculo medía 5 m y no 6 u 8. Mis recuerdos me decían que, conociendo solo el diámetro, no podía calcular la altura ni el ángulo de apertura de la luz. Necesitaba algún dato más.

Armado con un metro, medí el fuste, es decir, la columna: 3,15 m. A esa medida había que añadir el soporte, la tulipa y los adornos superiores. Calculé que la farola completa rondaría los 4 m. Para mis cálculos, sin embargo, lo que necesitaba era la altura del punto de luz, que estimé en 3,55 m.

Y una pregunta siguió a otra.

¿Por qué la luz forma un círculo de 5 metros?

Ahora, con una herramienta: la tangente

Si dividimos el radio del círculo, 2,50 m, entre la altura estimada del punto de luz, 3,55 m, obtenemos la tangente del ángulo que forma la línea hacia el borde del círculo con la vertical.

2,50 / 3,55 = 0,704225.

Consultando una calculadora científica, comprobé que el arcotangente de ese valor corresponde aproximadamente a 35,15°. Como el cono de luz se abre hacia ambos lados, el ángulo geométrico total resulta de unos 70,30°.

Conclusión: para iluminar un círculo de 5 m de diámetro desde una altura de 3,55 m, el ángulo geométrico total sería de aproximadamente 70,30°.

Podemos comprobarlo con la fórmula:

Diámetro = 2 × h × tan(α/2)

Y, efectivamente, el resultado se aproxima a los 5 m que había medido.

Así, conociendo dos de estos tres datos —el diámetro del círculo iluminado, la altura del punto de luz y el ángulo geométrico de apertura— podemos calcular el tercero.

Conviene recordar que se trata de una aproximación geométrica: el círculo que vemos en el suelo no tiene un borde perfectamente definido, y su diámetro es una medida aproximada de la zona iluminada.

Y entonces miré la distancia entre las farolas

Había otra cosa que podía medir sin ningún instrumento especial: la distancia entre una farola y la siguiente.

Conté aproximadamente 28 pasos, que en mi caso suponían unos 20 metros.

Si cada círculo luminoso tiene 5 m de diámetro, quedarían teóricamente unos 15 m entre sus bordes. ¿Es entonces un error de diseño?

Probablemente no.

Un parque no es un campo de fútbol. No necesita una superficie iluminada de manera uniforme y continua. Entre los círculos de luz existe una iluminación más débil, una penumbra que no desaparece por completo. El difusor translúcido (o rugoso, como lo describe el fabricante) dispersa parte de la luz lateralmente, creando un suave resplandor. La dispersión de la luz y la iluminación ambiental hacen que la transición entre las zonas más iluminadas y las menos iluminadas sea gradual.

Y así, contando pasos por un paseo nocturno, volvía a encontrarme con las matemáticas.

Pero pensé que, si todo acababa aquí, el recorrido había sido corto. Así que estudié y actualicé algunas cosas que sabía, aprendí otras que desconocía y llegué a la conclusión de que...

Un círculo de luz en el suelo no es una imagen aburrida

Si lo percibimos así, quizá sea porque lo miramos con los ojos equivocados. Ese círculo puede ser una puerta para despertar la imaginación y descubrir la relación de las matemáticas con nuestro entorno. ¿Y si encerrara geometría, física cuántica, trigonometría y astronomía?

Continuemos con nuestro propósito

El teorema de Tales (Geometría oculta)

¿Quieres saber cuánto mide esa farola sin trepar a ella ni utilizar un metro, sino tu propio cuerpo?

Pensarás: pero antes dijiste que no podíamos conocer su altura. Claro, entonces solo me servía de mis recuerdos de adolescente. Ahora la respuesta está oculta en el suelo que pisas cada noche.

Imagina que te sitúas en el borde del círculo de luz. Como su diámetro es de 5 metros, estás a 2,50 metros de la base de la farola. La luz incide sobre ti y tu cuerpo proyecta una sombra hacia la oscuridad exterior.

Estos son los datos de nuestro experimento:

La luz dibuja dos triángulos rectángulos semejantes: uno pequeño, formado por mi cuerpo y mi sombra, y otro mayor, formado por la altura del punto de luz y la distancia total hasta la punta de mi sombra.

Esta última distancia es la suma del radio del círculo y la longitud de mi sombra:

2,50 + 2,80 = 5,30 m.

Ahora planteamos una regla de tres:

1,80 / 2,80 = x / 5,30 Mi altura proyecta una sombra de 2,80 metros. ¿Qué altura correspondería a una sombra de 5,30 metros?

Por tanto, la altura que buscamos será mayor, porque la sombra de 5,30 metros es más larga que la mía. ¿Cómo lo resolvemos? Multiplicamos en cruz, como nos enseñaron, y después dividimos:

x = (1,80 × 5,30) / 2,80 = 3,41 m.

¡Ya tenemos una estimación de la altura del punto de luz, sin subir a la farola!

¿Es exacto? Mi estimación inicial era de 3,55 m, mientras que el cálculo de las sombras nos ha dado 3,41 m. Hay una diferencia de 14 centímetros.

¿Habíamos fallado? No necesariamente. Ambas medidas son aproximadas: no podía ver con precisión la posición de la bombilla y tampoco podía garantizar que las medidas de mi cuerpo y de mi sombra fueran exactas. Además, la fuente luminosa ocupa un espacio y no es un punto matemático perfecto.

Lo interesante es que, mediante dos procedimientos diferentes, hemos obtenido dos estimaciones relativamente próximas de la altura del punto de luz.

No hemos conseguido una medida exacta, pero sí algo que merece la pena: comprobar cómo las matemáticas nos permiten aproximarnos a una realidad que parecía inaccesible.

¡Tan sencillo como alucinante!

La paradoja de las dos sombras (Trigonometría viva)

Cuando caminas de noche por los 20 metros que separan dos farolas, puede ocurrir algo sorprendente: tu cuerpo proyecta dos sombras en direcciones opuestas, una por cada farola.

Anoche mismo lo comprobé en la calle, y el baile de siluetas es espectacular.

Al alejarte de la primera farola, tu sombra se alarga. Al acercarte a la siguiente, la sombra que esta proyecta hacia tu espalda se va acortando.

¿Qué ocurre al llegar al punto medio?

Si las dos farolas tienen la misma altura y sus condiciones de iluminación son equivalentes, estarás a 10 metros de cada una y las dos sombras tendrán la misma longitud. Podría existir alguna diferencia, pero eso no cambiaría la idea que estamos planteando.

Fotografiando el pasado a pasos (Física cósmica)

La luz parece instantánea: accionas el interruptor y todo se ilumina. Sin embargo, los fotones que llegan hasta tus zapatos han recorrido una distancia y han necesitado un tiempo para hacerlo.

La velocidad de la luz es de aproximadamente 300.000 km por segundo. Si el punto de luz está a unos 3,41 metros de altura y el radio del círculo es de 2,50 metros, podemos calcular el recorrido mediante el teorema de Pitágoras: Recuerda a2+b2=c2

Distancia = √(3,41² + 2,50²) ≈ 4,23 m.

Para recorrer esa distancia, la luz tarda aproximadamente 14 nanosegundos, es decir, 0,000000014 segundos.

Cuando miras la farola encendida, la ves tal y como era una pequeñísima fracción de segundo antes. Es un viaje al pasado a escala microscópica que nos recuerda que incluso una calle de nuestro barrio está sometida a las leyes físicas que rigen el universo.

La danza cuántica del vapor de sodio (Física atómica)

Las lámparas de vapor de sodio pueden tardar uno o dos minutos en alcanzar su funcionamiento normal, pasando de un tono rojizo apagado a un amarillo anaranjado brillante. No tiene por qué tratarse de una avería: es parte del proceso de encendido y calentamiento.

Dentro del tubo de descarga hay átomos de sodio. La descarga eléctrica les transfiere energía y algunos de sus electrones pasan a estados de mayor energía. Cuando regresan a estados inferiores, liberan parte de esa energía en forma de fotones, partículas de luz.

El sodio presenta unas líneas de emisión características, entre ellas el conocido doblete amarillo, situado aproximadamente en 589,0 y 589,6 nanómetros.

Por eso produce ese color tan característico. El círculo luminoso que pisas en la acera es también el resultado visible de innumerables procesos atómicos.

La geometría de la supervivencia (Ecología y diseño)

La forma de la tulipa no tiene por qué responder únicamente a razones estéticas. Su geometría, junto con las características ópticas de la lámpara y sus elementos reflectores, ayudan a dirigir la luz hacia el suelo y reducir la contaminación lumínica.

Según las especificaciones del modelo que pude consultar, estas farolas parecen incorporar una tapa refractaria destinada a controlar la distribución de la luz. Sin haber confirmado el modelo exacto instalado, conviene tomar este dato con cautela.

La cuestión importante es que una iluminación bien dirigida permite aprovechar mejor la luz y reducir la que se pierde hacia el cielo nocturno.

También hay una razón ecológica: la luz artificial puede alterar el comportamiento de aves, insectos y otros animales. En algunos insectos, por ejemplo, puede interferir con sus mecanismos de orientación y atraerlos hacia las fuentes luminosas.

Así, el diseño de una farola no solo puede ayudarnos a iluminar nuestros pasos; también nos invita a pensar en los animales que comparten la noche con nosotros.

Al final solo estaba mirando una farola

Todo esto comenzó porque una noche decidí mirar el suelo en lugar de seguir caminando sin más.

Lo curioso es que yo no había salido a buscar un problema de matemáticas. Tampoco recordaba ya muchas de las herramientas que había aprendido años atrás. Simplemente había algo delante de mí que me produjo curiosidad.

Y quizá ahí esté lo más interesante.

Hoy se dice con frecuencia que las matemáticas están en todas partes, que forman parte de la naturaleza y del universo. A veces esa afirmación parece demasiado grande o demasiado abstracta.

Pero quizá no haga falta mirar tan lejos.

Puede bastar con salir a pasear una noche, detenerse delante de una farola y preguntarse por qué el círculo de luz mide lo que mide, por qué la tulipa tiene esa forma, por qué las farolas están separadas a esa distancia o cuánto tarda la luz en alcanzar el suelo.

Entonces uno descubre que las matemáticas ya estaban allí. Y que quizá tu universo ha cambiado de lugar.

Solo había que mirar.